由特征值判定稳定性

稳定性问一个简单的问题：若把系统推离平衡，它会回来还是越走越远？对线性系统，答案直接从其矩阵的特征值读出。每个特征值是一个模式；若每个模式都随时间收缩，整个系统就稳定。

判据按时间类型分两支。对连续系统 x' = A x，平衡点渐近稳定当且仅当每个特征值实部为负，Re(lambda) < 0，因为每个模式带有因子 exp(lambda t)。对离散系统 x_{k+1} = A x_k，稳定要求每个特征值都在单位圆内，|lambda| < 1，因为每个模式带有 lambda^k。

边界情形很微妙。恰在直线 Re(lambda) = 0 上（或单位圆 |lambda| = 1 上）的特征值是临界的：可对角化时该模式既不增长也不衰减，但若该特征值亏损，约当块会产生多项式增长，系统实则不稳定。

为何重要：这是控制工程、数值方法分析的基石，也是经线性化（雅可比矩阵的特征值）判断非线性系统平衡点的依据。警示：特征值只主宰长期、渐近的行为。一个稳定的非正规系统在衰减前仍可能瞬态激增，这在流体湍流与刚性数值问题中很要紧。