线性动力系统

线性动力系统描述当变化规则是反复作用同一个矩阵时，状态如何演化。无论时间是离散地滴答还是连续地流动，整个未来都由当下的状态与矩阵 A 决定，而 A 的特征值决定事物是增长、衰减、旋转，还是趋于稳定。

有两种风味：离散系统 x_{k+1} = A x_k，其解为 x_k = A^k x_0；连续系统 x' = A x，其解为 x(t) = exp(At) x_0。两者中，对 A 对角化都是关键技巧：把 x_0 写在特征基下，就把系统解耦为相互独立的标量模式，每个模式按自己的特征值演化。

在特征坐标下，离散模式每步按 lambda^k 缩放，连续模式按 exp(lambda t) 缩放。故实特征值给出增长或衰减，一对复特征值给出旋转（振荡），而它们的模决定速率。矩阵指数 exp(At) 不过是这幅特征模式图像的重新组装，是反复相乘的连续时间类比。

为何重要：线性系统能建模弹簧、电路、群体、控制回路，以及任何非线性系统在平衡点附近的局部行为（经线性化）。警示：若 A 亏损（不可对角化），纯特征模式就不够了，会从约当型得到多项式乘指数的项，即便在稳定系统中也可能瞬态增长。