卡尔曼滤波（线性代数视角）

卡尔曼滤波从带噪声的测量中估计一个运动系统的隐藏状态，每当新数据到来就更新它的最佳猜测。想象在雷达上追踪一架飞机：你预测它应在何处，看到一个带噪声的光点，再按你对各方的信任程度把两者融合。整套舞步都是矩阵运算。

它携带两个对象：状态估计 x_hat（你的最佳猜测）与协方差 P（你有多不确定，是一个矩阵）。预测步通过动力学 A 把两者向前推进：x_hat -> A x_hat，P -> A P A^T + Q，加入过程噪声 Q。更新步通过观测矩阵 H 纳入测量 z，并用卡尔曼增益 K = P H^T (H P H^T + R)^-1 加权，其中 R 是测量噪声。

深层要点是它就是递归最小二乘：每一步求解预测与测量的加权最小二乘融合，但不重拟合全部历史，而是更新滚动的估计及其协方差。增益 K 恰是最优折衷；协方差更新 P -> (I - K H) P 是纯线性代数，刻画新数据把不确定性椭球缩小了多少。

为何重要：凡运动遇上传感器之处皆有卡尔曼滤波，从 GPS、航天器导航到机器人与金融。警示：它仅对线性动力学与高斯噪声可证最优；真实系统需要扩展（扩展型或无迹卡尔曼滤波），而估计的好坏取决于你给定的噪声协方差 Q 与 R。