特征（谱）分解

特征值分解就是把对角化看作一种分解。若 A 拥有一整组线性无关的特征向量，把它们作为 X 的各列，并把对应的特征值放在 Lambda 的对角线上，则 A = X Lambda X^-1。从右往左读：换到特征向量坐标，把每个轴按其特征值缩放，再换回来。

一旦有了它，A 的幂与函数就变得平凡。A^k = X Lambda^k X^-1，因为中间的 X^-1 X 相消，所以求 A 的幂只是把每个特征值取相应次幂。同样的思想定义矩阵指数 e^A = X e^Lambda X^-1，用以求解线性微分方程。这一分解把困难的矩阵问题化为对角线上简单的标量问题。

决定性的提醒是 X^-1 必须存在，即 A 必须有 n 个无关特征向量。亏损矩阵（特征向量不足者，如非平凡的 Jordan 块）根本没有这种分解。即便 X 存在，它也可能近乎奇异、条件数极大，使该分解在数值上极难使用。

把它与正交的谱形式对比。当 A 对称（或 Hermite）时，谱定理把 X 升级为正交/酉矩阵 Q，给出 A = Q Lambda Q^*，特征值为实，特征向量正交归一且条件极好。一般的特征值分解是脆弱的表亲；对称的谱分解才是稳健的理想形态。