舒尔分解

对角化 A = X Lambda X^-1 是理想，但并非每个矩阵都可对角化；即便可以，特征向量构成的基 X 也可能严重非正交，求逆在数值上很危险。Schur 分解是可实现且稳定的替代品：每个方阵 A 都能写成 A = Q T Q^*，其中 Q 酉，T 上三角。

仔细体会这桩交易。你放弃把中间因子变成对角，退而求其次取上三角，但作为交换，换基矩阵 Q 是酉的，这是数值工作的黄金标准：它的逆就是 Q^*，它保持所有范数，且从不放大误差。关键是，这对每一个方阵都存在，完全不需要可对角化的假设。

特征值并未丢失。由于 T 是三角的，它的对角元恰好就是 A 的特征值，就摆在那里供你读取。这正是 Schur 成为求特征值实用途径的原因：实际的特征值求解器并不直接追逐特征向量，而是迭代 QR 算法，使 A 收敛到这个三角 T，同时累积出 Q。

对于带复特征值的实矩阵，有实 Schur 形式：T 是分块上三角，对角上的 2x2 块承载共轭特征值对，使全部运算保持在实数中。当 A 是正规矩阵（A A^* = A^* A）时，T 恰好是对角的，从而还原谱定理中的酉对角化。