极分解

每个非零复数都能分解为 z = r e^{i theta}：一个非负的模 r 与一个纯旋转 e^{i theta}。极分解正是它在矩阵上的精确类比。任意方阵 A 都可分解为 A = U P，其中 U 酉（旋转部分），P 半正定（拉伸部分）。矩阵扮演 z，U 扮演 e^{i theta}，P 扮演 r。

拉伸因子很具体：P = sqrt(A^* A)，即唯一的半正定平方根，它度量 A 在各个方向上的缩放程度。当 A 可逆时 U = A P^-1，是一个不含自身拉伸的真正旋转/反射。于是这一分解把 A 的作用干净地拆为先形变后旋转。

它与 SVD 直接相连。若 A = W Sigma V^* 是 SVD，则 P = V Sigma V^* 而 U = W V^*，所以极分解与 SVD 是同一底层几何的两种读法。奇异值就是拉伸 P 的特征值，也就是 A 沿其主轴拉伸的倍数。

为何在意：在每一种酉不变范数下，U 都是离 A 最近的酉矩阵，这使极因子成为以下场景的正确工具——当你必须把一个略微偏离酉性的矩阵重新正交化时，如图形学、机器人学或分子动力学中重新正交化一个旋转。它还是连续介质力学的基础，其中 P 是拉伸张量，U 是形变的旋转。