QR 分解（再探）

你在第一门课中见过 A = Q R，它是 Gram-Schmidt 的矩阵形式：Q 的各列正交归一，R 是上三角。Q 的各列是逐列构造出来的、A 列空间的一组正交归一基。这幅图景是对的，但其背后的计算值得再看一眼。

经典 Gram-Schmidt 在数值上很脆弱。逐步减去投影会累积舍入误差，算出的 Q 各列会偏离正交性，有时偏得很厉害。现代的 QR 计算方式根本不去正交化 A 的各列，而是从左侧对 A 施加一连串正交变换，每次把一列的次对角部分置零，直到剩下的就是 R；累乘起来的变换便构成 Q。

这些正交变换就是 Householder 反射（默认方式，整列反射）或 Givens 旋转（一次处理一个元素，适合稀疏或已近三角的矩阵）。由于每一步都是精确的正交映射，长度和角度都被保持，舍入误差不会被放大。结果是后向稳定的：算出的 Q 与 R 所分解的矩阵非常接近 A。

QR 是最小二乘的正确工具。用正规方程求解 min ||A x - b|| 会把条件数平方，而分解 A = Q R 再解 R x = Q^T b 则完全避免了这种平方。QR 还驱动求特征值的 QR 算法，在那里它被反复迭代，把矩阵推向三角形式。