豪斯霍尔德反射

Householder 反射就是一面镜子。取一个定义超平面（即与 v 垂直的平面）的单位向量 v，变换 H = I - 2 v v^T 就把每个向量关于该超平面作镜像反射。从几何上看，它是除恒等映射之外最干净的正交映射：把沿 v 的分量翻转，而让平面内的一切原封不动。

它在分解中的威力在于：你可以挑选这面镜子去恰好完成一件有用的事——取给定的列向量 x，把它反射到某个坐标轴上，使结果成为 (± ||x||, 0, 0, ..., 0)。一次选得好的反射就能一举把某列中主元下方的所有元素置零。施加 n-1 次（每列一次），就把 A 化为上三角形式，这正是 QR 分解中的 R。

由于 H 既对称又正交（H = H^T，H H = I，故 H = H^-1），它保持所有长度和角度，施加它不会放大舍入误差。这正是 Householder QR 后向稳定的原因，与 Gram-Schmidt 形成鲜明对比。你从不构造完整的 H 矩阵；只存 v，并用 H x = x - 2 v (v^T x) 来作用，每列代价约为 n 的量级。

一个需要小心的细节：为避免当 x 已几乎指向目标轴时发生灾难性抵消，应选择把 x 映到 -sign(x1) ||x|| e1 的反射，即送往远端轴向而非近端。正是这一符号选择使算法稳健。