鲁歇定理（Rouche's theorem）
/ roo-SHAY /
假设你想数一个复杂函数在某区域内的零点，可这函数太乱，无法直接下手。鲁歇定理给出捷径：若你能找到一个在边界上压过它的更简单函数，则两个函数内部的零点个数相同。你去数那简单函数的零点，便可断定那困难的函数有同样多的零点——一种关于根的微扰论证。
其陈述为：若 f 与 g 在闭围道 C 上及其内部解析，且在边界上处处有严格不等式 |g(z)| 小于 |f(z)|，则 f 与 f + g 在 C 内部有相同个数的零点（按重数计）。直觉是：沿整条边界，g 都是一个太小的微扰，小到无法把任何零点拖过边界，也无法令像以不同方式缠绕；既然在 C 上 |g| 从不达到 |f|，和 f + g 在 C 上便永不为零，其像绕原点的缠绕恰与 f 的相同。本质上它是辐角原理的一个干净推论：缠绕数相等意味着零点个数相等。
鲁歇定理是通向代数基本定理的标准而初等的路径——n 次多项式 p(z) 在一个大圆上被其首项 z^n 所压过，而 z^n 在原点有 n 个根，故 p 恰有 n 个根。它被用来逐区域定位超越方程的根，在控制与数值分析中显示稳定裕度，并证明系统的微小扰动不改变其不稳定模态的个数。它的威力在于把一个困难的计数问题，转化为曲线上一个容易的不等式核对。
p(z) = z^4 + 6z + 3 有几个根落在单位圆内？在 |z| = 1 上取 f(z) = 6z、g(z) = z^4 + 3。那里 |f| = 6，而 |g| 至多为 1 + 3 = 4，故在边界上 |g| 小于 |f|。于是 p 在内部的零点个数与 f(z) = 6z 相同，即一个。
在边界上挑出占主导的项；它内部的零点便数出整个函数的零点。
占优的不等式必须是严格的，且须在围道的每一点都成立；只要有一个边界点上 |g| 等于 |f|，结论就可能失效。选哪一项当 f、哪一项当 g 是一门艺术——拆错了，即便存在有效的拆法，不等式也会不成立。