逆向 FOIL(逆展开)

FOIL 是把两个二项式相乘的口诀——首项(First)、外项(Outer)、内项(Inner)、末项(Last)。逆向 FOIL 就是把这部电影倒着放:有人把展开后的三项式交给你,要你还原出它来自的那两个二项式。它本质上就是把三项式分解看作「逆乘法」,靠的是理解 FOIL 的各部分如何生成每一项。

其逻辑是:在 (px + m)(qx + n) 中,首项相乘给出 x^2 的系数(p·q),末项相乘给出常数项(m·n),外项加内项给出中间系数(p·n + q·m)。要逆推,你就寻找能同时命中这三个目标的待定值 p、q、m、n,逐一试探首、末系数的因数对,直到中间项算对为止。

对首项系数为 1 的三项式,这很快;但首项系数较大时,试错量会急剧膨胀,这正是十字相乘法(AC 法)作为更系统的替代方案存在的原因。逆向 FOIL 越练越熟:老手几乎凭直觉就能看出正确的数对。