因式分解技巧
三项式分解
像 x^2 + 5x + 6 这样的三项式里,常常藏着两个二项式。对三项式做分解,就是找出那两个二项式——这里是 (x + 2)(x + 3)——使得把它们乘回去就得到原来的三项式。这是一种由算术指引的试凑,而非纯靠运气。
对于简单三项式 x^2 + bx + c(首项系数为 1),你要找两个数,它们的积为 c、和为 b。对 x^2 + 5x + 6,需要两个积为 6、和为 5 的数:那就是 2 和 3,得 (x + 2)(x + 3)。当首项系数不是 1 时,例如 2x^2 + 7x + 3,寻找会更难,人们常改用十字相乘法(AC 法)或逆向 FOIL。
要诚实面对局限:许多三项式无法分解成系数为整数(甚至有理数)的二项式。积与和的搜索可能根本找不到合法的数对,这时该三项式在有理数范围内就是不可约的,你只能改用求根公式或配方法。
x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4),因为 (-3)(-4) = 12 且 (-3) + (-4) = -7。
积为 12,和为 -7——两数皆为负。
对 x^2 + bx + c:若 c 为正,两数与 b 同号;若 c 为负,两数异号。这条符号规则能在动手前就缩小搜索范围。
另见