量子簡諧振子（quantum harmonic oscillator）

量子簡諧振子（quantum harmonic oscillator）是全物理學中最有用的一個可精確求解模型。取一顆位於拋物線碗中的粒子——一個掛在理想彈簧上的質量——讓它是量子的。因為幾乎任何平滑位能在其極小值附近都看似拋物線，這一個模型便近似了範圍驚人的各種系統之低能行為，從振動的分子到電磁場的一個模態。

它的哈密頓量是 H = p^2/(2m) + (1/2) m omega^2 x^2，其定態薛丁格方程有著格外乾淨的譜 E_n = (n + 1/2) hbar omega，n = 0, 1, 2, ...。能階以 hbar omega 等間距排列，不像原子那樣愈高愈密，而最低階不為零，而是 E_0 = (1/2) hbar omega，即測不準原理所要求的零點能。本徵函數是厄米多項式（Hermite polynomials）乘上高斯包絡，psi_n(x) 正比於 H_n(x) exp(-m omega x^2 / 2 hbar)。

它為何無所不在：在任何位能極小值附近，V(x) 約為 V(x_0) + (1/2) V''(x_0)(x - x_0)^2，於是分子振動、晶格振動（聲子）以及任何場的微小振盪都化約為簡諧振子。逐模態量子化電磁場，每個模態給出一個振子，其量子就是光子——所以簡諧振子簡直就是量子場論的數學種子。而求解它最優雅的方式不是硬啃微分方程，而是用階梯算符。