哈密頓算符（Hamiltonian operator）

如果你必須指出量子力學中最重要的單一算符，那會是哈密頓算符（Hamiltonian operator）。它扮演雙重角色：它是其值為系統能量的算符，也是時間的生成元（generator）——驅動每個態如何時時刻刻變化的物件。知道一個系統的哈密頓算符，原則上你就知道了它容許能量與動力學的一切。

哈密頓算符是總能量的算符，即動能加位能，對單一粒子 H = T + V = p^2/(2m) + V(x)。它透過含時薛丁格方程 i hbar d|psi>/dt = H|psi> 支配動力學，當 H 不含時，其形式解為時間演化算符 |psi(t)> = exp(-i H t / hbar)|psi(0)>。它的本徵值方程 H|n> = E_n|n> 就是定態薛丁格方程，故其本徵值是容許能量、本徵態是定態。因為 H 是厄米的，那些能量為實，而時間演化是么正的（機率守恆）。

它從何而來、為何重要：量子哈密頓算符由古典哈密頓函數 H(x, p) 經正則量子化（canonical quantization）得到，把 x 與 p 提升為滿足 [x, p] = i hbar 的算符（於是在位置表象中 p 變成 -i hbar d/dx）。幾乎每一個量子問題——原子、分子、固體、場——都從寫下正確的哈密頓算符開始；物理學中大量的功夫，正是選對它、再近似地將它對角化的藝術。