量子力學一：形式體系
定態薛丁格方程（time-independent Schrödinger equation）
/ SHROH-ding-er /
許多量子問題問的是一個駐波式的問題：在給定的位能下，哪些波形是自洽而靜止不動的，它們各帶有什麼能量？定態薛丁格方程就是回答這個問題的本徵值問題。著名的能量量子化——是離散的容許能階、而非連續譜——正是從這裡真正產生的。
它由分離變數得到。把完整的態寫成 Psi(x, t) = psi(x) e^{-i E t / hbar}，代入含時薛丁格方程後，時間部分收縮成一個相位，剩下 H psi = E psi。對於位能中的單一粒子，這就是 -(hbar^2 / 2m) d^2 psi/dx^2 + V(x) psi = E psi。它說 psi 是哈密頓算符 H 的本徵函數，本徵值 E 即能量。只有某些 E 才容許滿足邊界條件（有限、可歸一化、連續）的解，而這些容許的 E 就是能量譜。
它為何重要：對給定的 V(x) 解它，你就得到容許的能量與那些定態，而任何一般的含時態都是這些定態帶上相位 e^{-i E_n t / hbar} 的疊加。離散性不是用手硬塞進去的——它是從「要求 psi 在束縛位能中乖乖有界」中湧現出來的，正如吉他弦的容許頻率是從它兩端固定湧現出來一樣。
對寬度 L 的無限深方形井，解為 psi_n = sqrt(2/L) sin(n pi x / L)，能量為 E_n = n^2 pi^2 hbar^2 / (2 m L^2)；整數 n 標記井內能塞進多少個半波長。
量子化能量 E_n ~ n^2 是從邊界條件掉出來的，而非來自任何額外設準。
它只在位能 V 不隨時間變化時成立；定態並不是靜止的波函數，而是其時間依賴為一純相位 e^{-iEt/hbar} 的態。
又称
另见