厄米多項式（Hermite polynomials）
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厄米多項式是那族黏在高斯鐘形曲線上出現的多項式。每當一個問題活在整條無限直線上、帶著鐘形的權重時，它們就是自然的建構單元——最著名的就是量子簡諧振子，其能量態是一個厄米多項式乘上 e^(-x^2/2)。
H_n(x) 是解厄米方程 y'' - 2x y' + 2n y = 0 的 n 次多項式。前幾個（物理學家的約定）是 H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4x^2 - 2、H_3 = 8x^3 - 12x。它們在整條實線上正交，但帶高斯權重 e^(-x^2)：H_m(x) H_n(x) e^(-x^2) 從 -infinity 到 infinity 的積分，在 m 不等於 n 時為 0，在 m = n 時等於 2^n n! sqrt(pi)。羅德里格斯公式給出它們：H_n(x) = (-1)^n e^(x^2) (d/dx)^n e^(-x^2)。
把 H_n(x) 乘上高斯 e^(-x^2/2)，就得到量子簡諧振子的本徵態，psi_n 正比於 H_n(x) e^(-x^2/2)，能量為 E_n = (n + 1/2) hbar omega。因為幾乎任何光滑位勢在其極小值附近都像一條拋物線，這使厄米-高斯集成為萬用的小振動基底——用於分子振動、聲子，以及量子化場的模態。同樣這些函數也是雷射光束的厄米-高斯橫模。
振子基態是 n = 0：H_0 = 1 乘上 e^(-x^2/2)，一個純高斯，能量為 (1/2) hbar omega。第一激發態用 H_1 = 2x，給出一個有一個節點的波函數——奇函數，且在中心處為零。
每一個振子能階都把高斯乘上下一個厄米多項式。
有兩種約定並存：物理學家的 H_n（權重 e^(-x^2)）與機率論者的 He_n（權重 e^(-x^2/2)），兩者差一個縮放。若混用，公式會悄悄對不上。