階梯算符（ladder operators）

有一種純代數的方式可以求解簡諧振子，全程不碰任何微分方程。竅門是造出兩個算符，讓你在能階的階梯上一次一階地上下移動——把一個態升到上一階，或降到下一階。這是量子力學中最優美的捷徑之一，並且推廣後成為量子場論的骨幹。

對振子，定義 a = sqrt(m omega / 2 hbar) (x + i p / (m omega)) 及其伴隨 a-dagger，它們把哈密頓量因式分解。它們的關鍵性質是對易子 [a, a-dagger] = 1，而用它們表示 H = hbar omega (a-dagger a + 1/2)。算符 N = a-dagger a 是數算符，本徵值為 n。降算符作用為 a|n> = sqrt(n)|n-1>，升算符作用為 a-dagger|n> = sqrt(n+1)|n+1>。整個譜的產生方式是：先由 a|0> = 0 找到基態（沒有更低的一階），再反覆施加 a-dagger，能量 (n + 1/2) hbar omega 便自動掉出。

這遠遠超出一個玩具問題的原因：在量子場論中，a-dagger 與 a 成為生成與消滅算符（creation and annihilation operators），從一個場模態中加入或移除一個量子——一個光子、一個聲子、一個粒子——於是數 n 被重新詮釋為粒子計數。同樣的代數在角動量中以升降算符 J_+ 與 J_- 再度出現，在磁量子數 m 之間逐步移動。學會這一次階梯，你就握有一把萬能鑰匙。