對易子（commutator）
在日常代數裡，你先算 3 乘 5 或先算 5 乘 3 從來無所謂。對算符而言，這卻可能極為要緊，而對易子（commutator）正是「差多少」的精確度量。它回答一個物理問題：你執行兩次測量的先後次序會不會改變結果？當答案為「是」，你正看著量子力學幾乎所有詭異之處的代數根源。
兩個算符的對易子定義為 [A, B] = AB - BA。若它為零，A 與 B 對易：它們可在共同的本徵基底中對角化，因而能同時被測到任意精確（它們相容）。若它不為零，就不存在這種共享基底，兩個可觀測量服從一種取捨。整個理論的基石是正則對易關係 [x, p] = i hbar，位置與動量恰好差了 i hbar 這一個單位而不對易。角動量分量在自身之間封閉，[L_x, L_y] = i hbar L_z，生成了旋轉的代數。
它的影響極其深遠。一般測不準關係寫作 sigma_A sigma_B >= (1/2)|<[A, B]>|，因此非零的對易子直接禁止聯合的銳利。在正則量子化（canonical quantization）中，古典的帕松括號（Poisson bracket）被提升為對易子，{A, B} -> (1/i hbar)[A, B]，這就是把古典理論變成量子理論的形式配方。而各種階梯算符技巧（簡諧振子、角動量）完全靠知道幾個對易子就能運轉。
以 p = -i hbar d/dx 把 [x, p] = xp - px 作用在一個試驗波函數上，對每個 psi 得到 [x, p]psi = i hbar psi，故 [x, p] = i hbar——位置-動量測不準原理正是從這一條關係推出的。
一行代數得出 [x, p] = i hbar，量子不確定性的種子。
對易意味著可同時對角化、可聯合測量；非零的對易子透過 sigma_A sigma_B >= (1/2)|<[A,B]>| 禁止兩個可觀測量同時銳利。