帕松括號
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帕松括號是一台機器：輸入兩個相空間量，輸出第三個，而且輸出的方式編碼了哈密頓動力學的整個結構。它最深層的職責，是回答任意可觀測量「你此刻變得多快？」這個問題。它是量子對易子的古典祖先；熟悉它，正是把古典與量子力學看成同一理論在不同解析度下呈現的關鍵。
對相空間上的兩個函數 f(q, p) 與 g(q, p)，帕松括號為 {f, g} = sum_i (partial f / partial q_i)(partial g / partial p_i) - (partial f / partial p_i)(partial g / partial q_i)。它是雙線性、反對稱的（{f, g} = -{g, f}），滿足萊布尼茲乘積律，並滿足雅可比恆等式 {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0——使相空間函數構成一個李代數。基本括號 {q_i, q_j} = 0、{p_i, p_j} = 0、{q_i, p_j} = delta_ij 定義了正則座標。它的核心角色：任意可觀測量的時間演化為 df/dt = {f, H} + partial f / partial t。於是哈密頓量透過括號生成時間平移，而滿足 {f, H} = 0（且不顯含時間）的量是運動常數。
帕松括號統合了動力學與對稱性。每個守恆量都透過它的括號生成它所對應的對稱變換：動量生成平移，角動量生成轉動，哈密頓量生成時間演化。這是諾特定理的哈密頓面貌。而它正是狄拉克提升到量子力學的那個物件：正則量子化把 {f, g} 換成 (1 / i hbar)[F, G]，將帕松括號變成對易子。
對角動量分量 L_x, L_y, L_z，可算出 {L_x, L_y} = L_z（及其循環置換）。在正則量子化下乘以 i hbar，即得 [L_x, L_y] = i hbar L_z——整個量子角動量理論，早已顯現在古典的帕松括號代數之中。
古典括號 {L_x, L_y} = L_z 在正則量子化下變成量子對易子 [L_x, L_y] = i hbar L_z。
帕松括號只依賴辛結構，而不依賴正則座標的選取——正是這個不變性使它成為表述正則變換的正確語言。一個變換是正則的，若且唯若它保持所有帕松括號不變。