哈密頓方程
哈密頓方程是相空間中的運動方程。牛頓給你每個座標一條二階方程（F = m a）；拉格朗日給你每個座標一條二階的尤拉-拉格朗日方程。哈密頓把每一條都拆成兩條一階方程——一條描述位置如何變化，一條描述動量如何變化——這麼做的同時，讓位置與動量站上完全對等的地位。
對於有 n 個自由度的哈密頓量 H(q, p, t)，2n 條正則方程為 q_dot_i = partial H / partial p_i 與 p_dot_i = - partial H / partial q_i，i = 1..n。第一組說速度是 H 在動量方向上的梯度；第二組說力（動量的變化率）是 H 在座標方向上梯度的負值。這種近乎對稱、只被那一個負號打破的結構，正是辛（正則）結構的指紋。若某座標不出現在 H 中（循環座標），則 partial H / partial q_i = 0，其共軛動量 p_i 守恆——這是守恆律最乾淨的陳述。
由於是一階方程，哈密頓方程把運動描述成相空間中的一股流：每一點恰有一條軌跡通過，整個系統就像一團代表點沿流線奔湧的流體。劉維爾定理、統計力學以及整個動力系統理論，都建立在這幅圖像之上。任意可觀測量 f(q, p, t) 的全時間導數於是取得簡潔形式 df/dt = {f, H} + partial f / partial t，用到了帕松括號。
對簡諧振子 H = p^2/(2m) + (1/2) m omega^2 x^2，哈密頓方程給出 x_dot = partial H / partial p = p/m 與 p_dot = - partial H / partial x = - m omega^2 x。對第一式微分並代入第二式：x_ddot = - omega^2 x，正是熟悉的簡諧方程，如今由兩條一階方程重新導出。
兩條一階正則方程重現了振子的二階運動方程。
p_dot = - partial H / partial q 中的負號並非裝飾；正是它使相空間流保持體積（劉維爾），並使正則動力學有別於任意向量場。互換 q 與 p 的角色會使負號換位，這反映出 (q, p) 與 (p, -q) 都是合法的正則對。