尤拉-拉格朗日方程

這是分析力學的主力。一旦你寫下了拉格朗日量，這唯一一條方程就自動輾出運動方程，不必畫自由體圖，也不必把力分解成分量。它就是「作用量取駐值」這件事的數學條件。

對每一個廣義座標 q_i，它寫成 d/dt (partial L / partial q_dot_i) - (partial L / partial q_i) = 0。第一項是廣義動量對時間的變化率；第二項是廣義力。它是關於 q_i 的二階微分方程。在直角座標下，若 L = (1/2) m v^2 - V，它就化為 m x_ddot = -partial V / partial x，也就是牛頓第二定律。

在整個變分法中你都會遇到完全同一條方程：它是任何以 f(y, y', x) dx 之積分所構成之泛函的駐值條件，而力學只是其中一個例子。它最大的實用優點，是在任何廣義座標下都成立。當出現約束或與速度有關的力時，這個裸形式會被增補：加上拉格朗日乘子項，或加上瑞立耗散項。