勒讓德多項式（Legendre polynomials）
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當一個物理問題具有球對稱——某電荷分布的場、一顆球的溫度——角方向自然的建構單元就是勒讓德多項式：一族 P_0、P_1、P_2、... 的簡單多項式，變數為 cos(theta)，它們在一種精確的平均意義下彼此完全「獨立」。任何合理的極角函數都是它們的加權和。
P_n(x) 是在區間 [-1, 1] 上（其中 x = cos theta）的 n 次多項式，是勒讓德方程 d/dx[(1 - x^2) dP/dx] + n(n+1) P = 0 的解。前幾個是 P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = (3x^2 - 1)/2。它們正交：P_m(x) P_n(x) 從 -1 到 1 的積分在 m 不等於 n 時為 0，在 m = n 時等於 2/(2n + 1)。羅德里格斯公式把它們全部生成出來：P_n(x) = (1/(2^n n!)) (d/dx)^n (x^2 - 1)^n，而它們是生成函數 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) = P_n(x) t^n 之和 的係數。
那個生成函數其實就是多極展開：1/|r - r'| 按勒讓德多項式展開，給出一個位勢的單極、偶極、四極、... 各項。勒讓德方程正是你在球坐標中分離拉普拉斯方程時得到的極角部分，再乘上方位角因子就把它們升級為球諧函數。它們是完備正交集的原型，是傅立葉級數中正弦餘弦在有限區間上的對應物。
一個離軸點電荷的位勢展開成 1/|r - r'| = (1/r) 乘上 (r'/r)^n P_n(cos theta) 之和，其中 r 大於 r'。n = 0 項是單極 1/r；n = 1 是偶極；那些 P_n 就是多極項。
勒讓德多項式是球形位勢的多極係數。
正交性只在區間 [-1, 1] 上以平坦權重 1 成立；改變區間或權重就會得到不同的一族（連帶勒讓德、切比雪夫、...）。權重是定義的一部分。