貝索函數（Bessel functions）

勒讓德多項式之於球面，貝索函數就之於圓柱與鼓面。敲一張圓形鼓面，它以某些圖樣振動，這些圖樣隨你從中心往外移動而衰減並振盪——不是乾淨的正弦，而是貝索函數，看起來像一個振幅緩慢衰減、波長逐漸漂移的正弦波。凡有圓柱對稱之處，它們就是自然的徑向形狀。

階數為 nu 的貝索函數是貝索方程 x^2 y'' + x y' + (x^2 - nu^2) y = 0 的解。正則解 J_nu(x)（第一類貝索函數）在 x = 0 處有限；第二個獨立解 Y_nu(x)（諾伊曼函數）則在該處發散。J_nu 對大 x 振盪並衰減，大致像 sqrt(2/(pi x)) cos(x - nu pi/2 - pi/4)。像勒讓德多項式一樣它們正交，但帶權重 x、在有限半徑上：J_nu(k_m r/a) J_nu(k_n r/a) r 從 0 到 a 的積分，對 J_nu 的不同零點 k_m、k_n 為零——這種傅立葉-貝索正交性正是讓你能展開一個徑向剖面的依據。

每當拉普拉斯方程或波動與熱傳方程在圓柱坐標中分離變數，它們就出現：圓鼓與光纖的模態、圓孔的繞射圖樣（艾里斑，由 J_1 的第一個零點決定）、導線周圍的場，以及信號處理中的調頻邊帶。J_nu 的零點決定了允許的頻率，正如 n pi/L 決定弦的頻率一樣。