曲線坐標（curvilinear coordinates）

直角坐標軸在每一點都是筆直、互相垂直的格線。但一個具有球對稱的問題（帶電球）或圓柱對稱的問題（一根長導線），若讓坐標線順著對稱走就會容易得多。曲線坐標就是任何坐標線為曲線的坐標系——像球坐標的 r、theta、phi——選它是為了讓問題的邊界與對稱變得簡單。

當位置向量 r(u1, u2, u3) 的坐標線是彎曲的，坐標系 (u1, u2, u3) 就是曲線坐標。在每一點會建立局部基底向量與比例因子（拉梅係數）h_i = |partial r / partial u_i|；它們衡量沿 du_i 走一步對應多少實際長度。對正交系統，向量算符會帶上這些因子：線元為 ds^2 = h1^2 du1^2 + h2^2 du2^2 + h3^2 du3^2，梯度的第 i 個分量是 (1/h_i) partial f / partial u_i，而拉普拉斯算符變成 laplacian f = (1/(h1 h2 h3)) 對 i 求和 partial_i( (h_j h_k / h_i) partial_i f )。對球坐標 h_r = 1、h_theta = r、h_phi = r sin theta。

這正是分離變數法能奏效的原因：拉普拉斯方程在球坐標中分離成一個徑向方程與一個角向方程，產生勒讓德多項式與球諧函數；在圓柱坐標中則產生貝索函數。選對曲線坐標系往往是最關鍵的一步，而物理中的特殊函數本質上就是常見坐標系的指紋。