正交归一基

正交归一基是一种基底，其成员不仅完备，还在两个特定方面整洁有序：每个基底态的长度都为一（已归一化），而任何两个不同的基底态都互相垂直，即它们的内积为零（正交）。用符号写，当 m 与 n 是同一个态时 ⟨m|n⟩ 等于一，否则等于零——这是一组态所能拥有的最清爽的关系。

这份整洁在计算中回报巨大。要求出态 |ψ⟩ 沿基底方向 |n⟩ 的系数，你只需取内积 ⟨n|ψ⟩，便可径直读出——无需解联立方程，也无需理清各坐标轴之间的重叠。长度与概率也变得轻而易举：一个已归一化的态，其系数的平方之和等于一，因此可以直接读作相应测量结果的概率。

量子力学里大多数常见的基底都是正交归一的，这自有缘由。一个系统的能量本征态、自旋朝上与朝下的态、位置态——全都可以被安排成正交归一的，因为它们对应于彼此不同、互相排斥的测量结果。单次锐利测量的不同结果总是可以被完美区分，而这正是正交性所表达的含义。