完备性关系

完备性关系断言：一个基底确实覆盖了整个空间，没有遗漏任何一个态。它写作对一组投影算符在基底上求和，Σ |n⟩⟨n| = 1，意思是把投向每一个基底方向的投影算符相加，便重建出单位算符——那个让每个态都保持不变的运算。说白了：任何态都由它沿基底的各个分量完全交代清楚。

它日常的用法，是作为一件可以塞进任何表达式而不改变其值的工具，因为插入单位算符什么也不会改变。把 Σ |n⟩⟨n| 丢进一个重叠或一个算符的中间，它便悄悄把计算拆成对基底态的求和，每一份都是一个你能对付的简单的数。这种「插入一组完备态」的技巧，是整个量子力学中最常用的招数之一。

完备性是正交归一的搭档。正交归一说的是基底态干净而彼此分明；完备性说的是它们的数目足够张满一切，无一缺漏。一组虽正交归一却不完备的态会留下缝隙——它无法表示的态——所以两条性质合在一起，才使一个基底值得信赖。对于像位置这样的连续基底，求和就变成积分，但想法毫无二致。