谱分解

谱分解，是把一个厄米算符写成由它自身的本征值与本征态搭建起来的一个干净求和的方式。求和中的每一项，都是一个本征值乘以一个投影算符——这种算符会从任意态中挑出沿对应本征态方向的那一部分。算符由此完全从它的谱与它天然的方向重新搭建出来。

这种分解不只是整洁的记账；它把一个可观测量究竟如何作用，赤裸裸地揭示了出来。喂进一个态，每个投影算符就摘下这个态沿某个本征态的分量，而相配的本征值再把它放缩。这幅图景生动地说明了：为什么可能的测量结果就是那些本征值，又为什么每个结果的概率就是对应分量的权重，正如玻恩定则所规定的那样。

谱分解还赋予「算符的函数」以意义。比方说，要计算由哈密顿量搭建的时间演化算符，你只需对每个本征值施加那个普通的函数，同时保持投影算符不变。这就把艰难的算符运算，化作了对数字的轻松算术，并支撑着量子力学中各处的实际计算。