投影算符

投影算符是一种算符，它挑出一个态中沿某个选定方向的那一部分，把其余统统丢弃。最简单的一个，由归一化的态 |n⟩ 搭成，写作 |n⟩⟨n|。把它作用于任何态，它便只返回该态的 |n⟩ 分量并作适当缩放，就像把一支箭头的影子投到单根坐标轴上。

投影算符有一个标志性的性质：作用两次，并不比作用一次多做什么。一旦你投影到某个方向上，结果就已经完全沿着那个方向，所以再投影一次也不会改动它。这种「做两遍、得同一物」的行为，是投影在数学上的标记，它捕捉到了把一个分量干净而不可逆地提取出来的想法。

在量子力学里，投影算符承载着实实在在的物理分量。理想测量的标准规则说：一旦得到某个特定结果，态就坍缩为原态投影到相应结果上的那一部分（再适当重新归一化），而该结果的概率，就是被投影出来那一份长度的平方。投影算符在一个基底上求和便重建出单位算符，这不过是从另一个角度看到的完备性关系。