内积

内积，写作 ⟨φ|ψ⟩，是把一个左矢与一个右矢配对所得到的那个单一复数。它是你也许从普通向量那里熟悉的点积的量子版本，量度两个态有多少重叠——它们有多相像。若这个数的大小很大，两个态就很相似；若它为零，两个态便是正交的，意味着它们毫无共通、可被完美区分。

与日常箭头的点积不同，量子内积可以是复数，而且次序重要：交换两个态会给出复共轭，所以 ⟨φ|ψ⟩ 与 ⟨ψ|φ⟩ 互为镜像。把一个态与自身配对，⟨ψ|ψ⟩，总会给出一个为零或为正的实数；它的平方根就是这个态的长度，即范数，我们通常把态缩放到这个长度等于一。

这一个运算悄悄地驱动着几乎一切量子事物。概率依照玻恩定则，来自重叠大小的平方；期望值是中间夹着一个算符的内积；而追问两个态在测量中能否被分辨，归根结底问的正是它们的内积。几何——态向量之间的长度与夹角——正是量子预言所用的语言。