归一化

归一化就是给波函数定标，使得在某处找到粒子的总概率恰好等于一。既然 |ψ|² 是概率密度，把它在全空间上累加起来就必须得到一：粒子必定在某个地方。若一个未经处理的波函数积分出来是别的数，你只需把 ψ 除以那个数的平方根，概率便会乖乖地落在零与一之间。

归一化的必要性，直接来自概率的含义。一个累加为二的密度，等于宣称粒子被「找到了两遍」；一个累加为二分之一的密度，则会丢掉半个粒子。只有「一」这个值才是诚实的。由于真正承载物理意义的是 |ψ|²，把 ψ 乘以任何一个模为一的总体常数——一个纯相位——都不改变任何可测量的东西；归一化固定了模的大小，却让那无害的自由度安然不动。

并非每一个方程的解都能被归一化。一个在远处不衰减的波函数，可能包含无穷大的总概率，那它就无法描述单个局域化的粒子。这类不可归一化的函数，比如一列完全锐利的平面波，作为理想化与构造的基石仍然有用，但一个真正的物理态必须是可归一化的——它的概率云必须累加为一。