本征值方程

本征值方程是一句朴素却强大的陈述：算符作用在一个态上，交还回来的是同一个态乘上一个数。简洁地写下来就是 Â|ψ⟩ = a|ψ⟩，其中 Â 是算符，|ψ⟩ 是本征态，a 是本征值。求解这个方程，就是找出所有能毫发无损地从算符底下幸存的特殊态，以及与之相配的那些数。

这一条关系，把本学科三个核心概念串在了一起。满足它的态就是本征态；冒出来的那些数就是本征值；而对一个可观测量来说，这些本征值恰恰就是测量所能返回的值。所以，当你写下一个算符并发问它的本征值方程时，你其实是在向自然界询问：它允许哪些结果出现。

实践中，量子力学的极大一部分工作，就是求解本征值方程。不含时薛定谔方程正是能量算符——哈密顿量——的本征值方程，求解它便得到一个原子或一口势阱被允许的能级。同一套模板——写下算符、解它的本征值方程、读出谱——在整套理论中反复出现。