畢氏定理／勾股定理（Pythagorean theorem）
/ pih-THAG-or-as (for Pythagoras) /
畢氏定理是初等幾何中最有名的結果：在任何直角三角形中，建在最長邊上的正方形等於建在另外兩邊上的正方形之和。若兩條短邊（股）的長為 a 與 b，最長邊（斜邊，在直角的對面）的長為 c，則 a^2 + b^2 = c^2。它用一條單一而精確的等式把直角三角形的三邊連繫起來。
把它讀成面積：字面上，畫在斜邊上的正方形面積等於畫在兩股上的兩個正方形面積之和。從這一個關係，當另兩邊已知時你就能求任一邊——例如兩股為 3 與 4，c^2 = 9 + 16 = 25，所以 c = 5。它有數百種證明。重排證明把四個三角形的副本以兩種方式塞進一個大正方形來比較面積；相似證明作斜邊上的高，再把兩個幾何平均關係相加；歐幾里得自己的證明（《幾何原本》I.47，俗稱「風車」或「新娘椅」）藉由全等三角形證出每個股的正方形等於斜邊上的一個矩形。
它的影響力極大：它給出座標平面上兩點之間的距離（距離公式就是化了裝的這個定理），它支撐三角學的畢氏恆等式，而且它能推廣到三維乃至更高維。一個誠實的提醒：這個定理是一個「若—則」敘述，需要一個直角。它在非直角的三角形中不成立，而在像球面這樣的曲面上完全失效——它是平面（歐氏）幾何的定理。把功勞歸給畢達哥拉斯是傳統說法；巴比倫泥板顯示這個關係在他之前一千年就已為人所知並被使用。
一把長 13 公尺的梯子靠在牆上，腳離牆基 5 公尺。它能搆到多高？以 c = 13、a = 5，b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144，所以 b = 12 公尺。
a^2 + b^2 = c^2 讓你能從直角三角形的另兩邊求出任一邊。
這個定理只適用於直角三角形，而 c 必須是斜邊（直角的對邊，永遠是最長的邊）。常見的錯誤是把 c 當成股來寫 a^2 + b^2 = c^2；如果你把錯的邊當成 c，答案全都會錯。