畢氏三元數／勾股數（Pythagorean triple）

畢氏三元數是三個能當作直角三角形邊長的整數——三個正整數 a、b、c，滿足 a^2 + b^2 = c^2。最有名的是 (3, 4, 5)：9 + 16 = 25。因為邊長剛好是整數，這些三元數在課堂題目中、以及任何想要乾淨直角而不想沾上煩人平方根的場合，都備受珍視。

把一個三元數的每個成員乘以同一個整數，會得到另一個三元數——(3, 4, 5) 放大成 (6, 8, 10)、(9, 12, 15) 等等。三個數沒有大於 1 的公因數的三元數叫做基本（primitive）三元數；(3, 4, 5) 與 (5, 12, 13) 是基本的，而 (6, 8, 10) 不是。每個基本三元數都能由歐幾里得公式產生：取兩個互質、奇偶性不同的正整數 m 大於 n，令 a = m^2 - n^2，b = 2mn，c = m^2 + n^2。當 m = 2、n = 1 得 (3, 4, 5)；m = 3、n = 2 得 (5, 12, 13)。這個公式把每個基本三元數恰好產生一次，所以基本三元數有無窮多個。

三元數是幾何與數論一個令人愉快的交會點。它們讓你一眼就認出直角三角形，並用整數量度把它們造出來。一個有用的誠實：畢氏三元數只是同一個方程 a^2 + b^2 = c^2 的整數解——擁有它並不會讓一個三角形比別的直角三角形「更直角」；許許多多完全合格的直角三角形（例如 1-1-sqrt(2)）有著無理數邊長，根本不是三元數。