斜邊上高線關係（altitude-on-hypotenuse relations）

取一個直角三角形，從直角頂點向斜邊作垂線直落下去。這條高線把大直角三角形切成兩個較小的直角三角形。美妙的驚喜是：三個三角形——原來的與兩個碎片——彼此都相似，而這一個事實就產生三個乾淨的幾何平均關係。

把直角標在 C，斜邊記為 AB，高線的垂足記為 D，它把 AB 分成 AD 段（緊鄰股 CA，設其長為 p）與 DB 段（緊鄰股 CB，設其長為 q）。以 h 表示高線 CD：（1）高線是斜邊兩段的幾何平均，h = sqrt(p·q)，等價於 h^2 = p·q；（2）每一條股是整條斜邊與緊鄰它那一段的幾何平均，所以 CA^2 = p·(p + q) 且 CB^2 = q·(p + q)。這些全都從 AA 判別法所建立的三個相似三角形流出（每個小三角形都與大三角形共用一個銳角）。

這些關係是不用任何三角學就能在直角三角形中求未知長度的主力工具，而且它們給出畢氏定理最俐落的證明之一：把兩條股的關係相加，CA^2 + CB^2 = p(p + q) + q(p + q) = (p + q)^2 = AB^2。所以幾何平均的圖像不是奇珍——它就是躲在相似三角形裡的畢氏定理。常見的失誤是把錯的段配上錯的股，所以務必把每條股配給碰到它的那一段斜邊。