幾何平均／比例中項（geometric mean）

兩個正數的幾何平均是它們之間的某種「乘法中項」。一般（算術）平均求 4 與 9 的方法是相加後除以二——得到 6.5——而幾何平均的求法是相乘後開平方根，得到 36 的平方根，也就是 6。它回答的問題是：哪一個數，放在比例中，恰好位於這兩個數之間？

正式地說，a 與 b 的幾何平均是滿足 a : x = x : b 的值 x——比例的重複中項。由內項外項性質得 x^2 = a·b，所以 x = sqrt(a·b)（取正根）。對 4 與 9，x = sqrt(36) = 6。在幾何上，x 是一個正方形的邊長，這個正方形的面積等於一個 a 乘 b 的長方形：幾何平均把一個長方形化成面積相等的正方形。這就是為什麼「比例中項」與「幾何平均」是同一個概念的兩個名字。

在本單元中，幾何平均是直角三角形高線關係的核心：當你從直角向斜邊作高時，這條高線是它所造出的兩段的幾何平均，而每一條股是整條斜邊與緊鄰它那一段的幾何平均。幾何平均總是小於或等於算術平均（只有當 a = b 時相等），這個事實默默支撐著許多不等式——但在幾何中它的職責是當那個「在另外兩個長度之間成比例」的長度。