距離公式（distance formula）
兩個已知地址的點相距多遠？若朋友在 (1, 1)、你在 (4, 5)，不能只把數字相減——你要的是橫越平面的直線距離。距離公式回答了這個問題，而它無非是穿上座標外衣的畢氏定理。
看這幅圖。給定 P_1 = (x_1, y_1) 與 P_2 = (x_2, y_2)，畫出兩點間的線段，再先水平、後垂直地補成一個直角三角形。水平股長為 |x_2 - x_1|（x 的變化量），垂直股長為 |y_2 - y_1|（y 的變化量），而線段 P_1 P_2 是斜邊。畢氏定理說斜邊平方等於股平方加股平方，故距離 d 滿足 d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2，得 d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)。以上例，d = sqrt((4 - 1)^2 + (5 - 1)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5。
由於差值取了平方，先取哪一點當第一點都無妨——(x_2 - x_1)^2 等於 (x_1 - x_2)^2——所以距離沒有方向，只有大小，且絕不為負。這一條公式撐起了圓的方程式（與圓心固定距離的所有點）、判別三角形種類、以及座標幾何中幾乎每一項測量。同樣的配方可延伸到空間：在三維中只需在根號下再加上 (z_2 - z_1)^2。
頂點為 A(0, 0)、B(6, 0)、C(3, 4) 的三角形是等腰三角形嗎？算 |AC| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 與 |BC| = sqrt((3-6)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5。兩邊相等——是的，它是等腰三角形。
距離公式把「量出各邊」化為純粹的算術。
把相減放在平方之內；若誤寫成 |x_2| - |x_1|，先平方也救不回符號錯誤。正確的兩股是差 x_2 - x_1 與 y_2 - y_1，再平方。