作為前推測度的分布（distribution as a pushforward measure）
當你說一個隨機變數服從常態分配時，你根本不是在談那個雜亂的底層樣本空間——你談的是這個變數如何把它的權重散布到實數線上。前推測度就是這件事的嚴格形式：它把住在抽象空間 Omega 上的機率，沿著隨機變數搬運到實數線上，產生一個 R 上的機率測度，捕捉了關於該變數你所能觀測的一切。這個被搬運過去的測度，就稱為該隨機變數的分布或分布律。
其構造很直接。給定 Omega 上的機率測度 P 與隨機變數 X: Omega -> R，在 R 的 Borel 集上定義一個新測度 P_X 為 P_X(B) = P(X^(-1)(B)) = P(X 在 B 中)。換言之：P_X 指派給線上某區域 B 的權重，就是「X 映入 B 的所有結果」的原始機率。你把機率沿著 X 往前推。由於 X 可測，X^(-1)(B) 永遠是事件，故 P_X(B) 永遠有定義，而 P_X 本身是 (R, Borel) 上一個道地的機率測度。它記為 X_* P 或「X 的分布律」，並完全住在實數線上——原本的 Omega 已被遺忘。
這正是為何實務上可以忽略底層機率空間的精確原因：兩個前推相同的隨機變數有完全相同的分布，對每一個機率陳述都表現一致，即使它們建構在完全不同的空間上。期望值、CDF、密度、動差全都僅由 P_X 計算而得。這也說明了為何我們會說「令 X 為常態(0,1)」卻從不描述 Omega——我們不過是在直接為那個前推測度命名罷了。
在 Omega = {1,...,6}、P 為均勻之下擲一顆公正骰子，令 X = 1 若點數為偶、否則 X = 0。前推 P_X 住在 R 上：P_X({1}) = P({2,4,6}) = 1/2，P_X({0}) = 1/2。X 的分布是白努利(1/2)——而我們從此再也不必提起那顆骰子。
機率透過 X 從 Omega 搬運到實數線上——即 X 的分布律，也是觀測唯一看得見的東西。
分布相同不代表隨機變數相同：X 與 -X 可以共享同一個常態(0,1) 分布律（同一前推），卻在同一結果上從不取相同的值。