作為可測函數的隨機變數（random variable as a measurable function）
在初等課程裡，隨機變數被鬆散地描述為「一個取決於機運的數」。嚴格定義把這件事釘死：隨機變數是一個由樣本空間到實數的函數，且其表現夠好，使得每一個形如「X 是否落在這個範圍」的問題都是一個正當的事件。這項額外要求——可測性——正是保證機率 P(X 在 B 中) 對你在意的範圍 B 確實有意義的關鍵。
精確地說，給定機率空間 (Omega, F, P)，隨機變數 X 是一個函數 X: Omega -> R，使得對 R 中的每個 Borel 集 B，其原像 X^(-1)(B) = { omega 屬於 Omega : X(omega) 屬於 B } 都屬於 F。換言之：每當你用「X 的取值滿足某條件」來描述一個結果集合時，該集合必須是你被允許的事件之一。只需對半直線驗證此事即可，亦即對每個實數 x，{ omega : X(omega) <= x } 都是事件，因為半直線生成 Borel 集（一個 Dynkin 式的事實）。一旦 X 可測，P(X 在 B 中) 就被定義為 P(X^(-1)(B))——你把問題沿著 X 拉回，在原空間上度量它。這正是「X 落在 B 中的機率」這個鬆散說法的精確含意。
為何可測性重要、而非只是技術細節？因為若沒有它，P(X <= x) 可能指向一個不可測集而根本沒有值，累積分布函數也將不存在。可測性恰是「讓函數把機率忠實地從 Omega 帶到實數線」的最低條件。令人安心的是，凡是你能用公式、求和、極限與連續運算寫下來的函數都自動可測，所以這條件在實務上從不咬人——它只排除那些用選擇公理造出的病態函數。
對擲兩次硬幣，Omega = {HH, HT, TH, TT}，X = 正面次數 把 HH -> 2、HT -> 1、TH -> 1、TT -> 0。事件 {X = 1} 拉回成 {HT, TH}，它屬於 F，所以 P(X = 1) = P({HT, TH}) = 1/2——這個函數把機率乾淨地從 Omega 帶到實數線。
隨機變數把 Borel 集拉回成事件；可測性正是讓 P(X 在 B 中) 有意義的條件。
可測性是以「原像方向正確」來檢驗：X 可測是指 X^(-1)(Borel) 落在 F 中，而非反過來；而且只需驗證對每個 x，{X <= x} 都是事件即可。