測度（measure）

測度是日常「大小」概念——長度、面積、體積、質量或計數——的精確、成熟版本。它是一條規則，輸入一個集合、輸出一個非負數（可能是無限大），說明它有多大，並尊重一條明擺著的常識律：若你把一個區域切成彼此不重疊的若干塊，整體的大小等於各塊大小之和。線上的長度、平面上的面積、普通的質量都是測度；機率則是「總大小恰為 1」的特例。

形式上，可測空間 (Omega, F) 上的測度 mu 對每個可測集 A 指派一個 [0, infinity] 中的值 mu(A)，使得 mu(空集) = 0，且 mu 具可數可加性：對任意可數多個互斥可測集 A1, A2, A3, ...，它們聯集的測度等於 mu(A1) + mu(A2) + mu(A3) + ... 之和。這條單一的可數可加性規則是整套理論的引擎——它讓你能把一個複雜集合切成無窮多個簡單小塊再相加，以算出其大小。由它可推出單調性（較大的集合有較大的測度）與連續性（遞增集合鏈的測度趨近其聯集的測度）。最重要的例子是勒貝格測度，它是 Borel 線上唯一一個讓每個區間 [a, b] 取得其普通長度 b - a 的測度。

測度把出人意料地廣泛的概念統一在同一個定義之下。計數測度（單純數出集合的元素個數）把求和變成積分；勒貝格測度讓勒貝格積分成為可能；機率測度讓期望值變嚴格。由於框架完全相同，對一般測度證明一次的定理，無需額外代價就同樣適用於長度、計數與機率——這正是測度論成為分析與機率共通語言的原因。