Caratheodory 延拓定理（Caratheodory extension theorem）

建構任何測度的核心，有一個「自我拔靴」的問題：你知道想給簡單集合什麼大小——區間取其長度、矩形取其面積——但你需要一個定義在 Borel 集這個龐大 σ-代數上的測度，包括那些你根本無法想像的瘋狂複雜集合。要如何把「簡單片段上的合理規則」延拓成「萬物之上的真正測度」？Caratheodory 延拓定理就是辦到這件事的機器，也是勒貝格測度與大多數其他測度實際上的構造方式。

你由一個前測度出發：一個僅定義在小而方便的族（一個對有限運算封閉的代數，例如區間的有限聯集）上的集合函數，且在那裡有意義之處已服從可數可加性。定理隨後保證這個前測度可延拓為一個定義在該族所生成的整個 σ-代數上的完整測度。其機制是外測度的概念：要度量任意集合 A，用可數多個你已知大小的簡單集合去覆蓋它，並在所有這種覆蓋中取總大小的最小值。一個集合若就此外測度而言能把其他每個集合都乾淨地切開，就被宣告為（Caratheodory 意義下）可測；這些表現良好的集合構成一個 σ-代數，外測度在其上確實可數可加。再配上使延拓唯一的 Dynkin 定理，你就同時得到存在性與唯一性。

具體地說：在區間上定義長度為 length([a,b]) = b - a，驗證這條小規則是「區間有限聯集」上的可數可加前測度，Caratheodory 便把所有 Borel 集上的勒貝格測度交到你手上——這是面積、體積與勒貝格積分的嚴格基礎。同一定理也建構乘積測度，並最終建構出無窮序列底下的機率空間。它是「存在性的引擎」：正因為有它，你才可以假定你想要的測度確實存在。