π-系與 λ-系（Dynkin 定理）
/ DIN-kin /
測度論中一個常見的頭痛是：證明兩個測度處處相等——在一個龐大 σ-代數的每個集合上都相等。逐一檢查每個集合毫無希望。Dynkin 定理正是解決此事的俐落工具：它說你只需在一個小而易處理（對交集封閉）的集合族上驗證相等，相等性就會自動擴散到那些集合所生成的整個 σ-代數。它是機率中各處唯一性結果背後的主力。
這個技巧把 σ-代數的兩條規則拆成兩個較弱的結構。π-系是僅對「有限交集」封閉的集合族——例如所有半直線 (-infinity, x]，其兩兩交集仍是半直線。λ-系（或 Dynkin 系）則是包含整個空間、並對「在空間內取補」與「可數互斥聯集」封閉的族——這恰是測度相等所尊重的運算，因為兩測度在某集合上相等則在其補集上也相等，而可加性處理互斥聯集。Dynkin 的 π-λ 定理於是陳述：若一個 λ-系包含某個 π-系，則它包含該 π-系所生成的整個 σ-代數。再配合「交集加上 λ-性質即得全部 σ-代數性質」這一事實，這就是由易通難的橋梁。
實務上的食譜是：要證明兩個機率測度在 Borel 集上相等，就證明它們在所有半直線 (-infinity, x] 上相等——也就是它們的累積分布函數一致——注意半直線構成一個 π-系，檢查「兩測度相等的那些集合」構成一個 λ-系，剩下的交給 Dynkin。這正是為何一個分布完全由其 CDF 決定，也是為何獨立性只需在「生成事件」上驗證、而不必在所有事件上驗證。
要證明 R 上兩個分布完全相同，你不必檢查每個 Borel 集；你只需檢查對所有 x 都有 P((-infinity, x]) = Q((-infinity, x])。半直線構成一個生成 Borel 集的 π-系，因此 Dynkin 定理把「在半直線上相等」升級為「處處相等」。
在一個對交集封閉的生成族上驗證，相等性便傳播到整個 σ-代數。
π-系必須對交集封閉這招才有效；在一個非交集封閉的族上檢查相等，並不能讓你斷定在生成的 σ-代數上也相等。