σ-代數（sigma-algebra）

σ-代數是你被允許對一個隨機試驗提出的「合法問題清單」——也就是所有算得上正當事件的集合所組成的家族。由於某些結果子集根本無法指派機率（即不可測集），我們不能說每個子集都是事件。取而代之，我們事先固定一族性質極佳的集合，好讓機率能一致地指派給其中所有成員，並約定只對這個家族裡的成員提出機率問題。

具體地說，樣本空間 Omega 上的 σ-代數 F 是一族 Omega 的子集，滿足三條規則。第一，整個空間 Omega 屬於 F（必然事件被允許）。第二，若集合 A 屬於 F，則其補集（Omega 減去 A）也屬於 F——既然能問 A 是否發生，就能問它是否不發生。第三，若 A1, A2, A3, ... 是 F 中任意可數多個集合，則它們的聯集也屬於 F——你可以用「或」把可數多個被允許的問題組合起來。由這三條，你還免費得到空集、可數交集（透過取補）以及集合差。字首 sigma 正是在標示：被允許的是「可數」而非僅「有限」的組合，這正是讓極限與無窮過程能運作的關鍵。

為何要這麼麻煩？因為可數聯集正是讓你能取極限的運算，而機率的存亡全繫於極限——數列收斂、尾事件、長期平均。σ-代數是能讓事件家族對你真正想做的所有運算保持封閉、同時又安全排除病態集合的「最小結構量」。最小的 σ-代數只含空集與 Omega；在可數空間上最大的則是全部子集；有趣的情形——例如實數線上的 Borel 集——介於兩者之間。