不可測集（non-measurable set）

想像你希望給 0 到 1 這個區間的每一個子集都指派一個合理的「長度」，並要求：在區間上它與普通長度一致；把集合整體平移（長度不應隨它擺在何處而改變）時不變；而且當你把一個集合切成可數多個互斥小塊時，長度能正確地相加。聽起來這應該永遠辦得到。所謂不可測集，就是一個可以被證明辦不到的集合：除非違反上述某條看似無害的規則，否則根本無法給它任何長度。它的存在，正是為何「素樸機率」——讓每個結果集合都直接擁有一個機率——在連續模型中行不通的原因。

經典的構造（由 Vitali 給出）是：把 [0, 1] 中的數依「彼此之差是否為有理數」分組，再從每一組恰好挑出一個代表，所得集合記為 V。把 V 按每個有理數量平移（在圓周上繞回），就得到可數多個互斥的副本，它們合起來蓋滿整個區間。若 V 有長度 L，可數可加性會迫使總長等於可數多個 L 相加，這要嘛是 0（若 L = 0），要嘛是無限大（若 L > 0）——永遠不會是正確的總長 1。所以沒有任何 L 行得通，V 根本無法被測量。同樣的論證搬到機率上：你無法一致地給 V 指派一個機率。

誠實的教訓是：我們不能堅持每個子集都當成事件。取而代之，我們只把注意力限制在一族精心挑選、性質良好的集合上——也就是 σ-代數——並且只對它們指派機率。不可測集確實存在，但很奇異：偷偷把它造出來必須用到選擇公理，所以沒有人能明確寫出一個，你在應用問題中也永遠遇不到它。它是一個警示牌，而不是可用的工具；整套測度論的機制，正是為了乾淨俐落地把它隔離在外而存在。