作為期望值的勒貝格積分（Lebesgue integral as expectation）
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期望值 E[X] 本應是隨機變數的平均值，但對連續變數、奇怪的混合分布、或變數的極限而言，初等公式（離散用加權和、連續用普通積分）是兩種不同的食譜，且未必總能適用。勒貝格積分是一種單一而更強大的求平均方式，能一次處理上述全部。嚴格地說，期望值被定義為 X 對機率測度的勒貝格積分：E[X] = 在 Omega 上對 X 取 dP 的積分。
它的構想以一種巧妙的方式不同於微積分的積分。黎曼積分把水平軸切成細長的縱條再加總其面積——它分割定義域。勒貝格積分則改切垂直軸：它分割「取值的範圍」，問每一細條取值帶附有多少機率，把值乘上該機率，再加總。它分階段建立：先把簡單函數（只取有限多個值 c1, c2, ... 者）的積分定義為顯然的和 c1 P(X = c1) + c2 P(X = c2) + ...，再把任意非負可測 X 的積分定義為「在其下方的所有簡單函數之積分」的上確界，最後對有號的 X 拆成正部與負部處理。這種「水平切片」的觀點，正是為何離散情形 E[X] = 各 x 乘以 P(X = x) 之和、連續情形 E[X] = x f(x) dx 的積分，兩者都作為同一定義的特例而自然落出。
回報是穩健性。勒貝格積分對遠多於黎曼積分的函數都收斂，而且——關鍵地——它附帶了強而有力的極限定理（單調收斂、Fatou、控制收斂），精確說明何時你可以把極限與期望值對調。正是這個單一而一致的定義，讓機率能證明大數法則、為任何分布定義期望值、並安全地把極限穿過積分，而臨時拼湊的微積分手法則會在此卡住。
對一個離散的 X，取值 1 機率 1/3、取值 4 機率 2/3，簡單函數的勒貝格積分給出 E[X] = 1 乘以 1/3 + 4 乘以 2/3 = 3。對一個有密度 f 的連續 X，同一個定義收斂為熟悉的 E[X] = x f(x) dx 的積分——同一條規則，兩種情形。
按「值」而非按「定義域」切片：一個求平均的定義，統攝了離散求和與連續積分。
E[X] 在勒貝格意義下存在，僅當 E[|X|] 有限時成立；像柯西分布這類重尾變數根本沒有期望值，因為其正部與負部的積分皆為無限大。