單調收斂定理（monotone convergence theorem）
機率中一個反覆出現的需要，是把極限與積分對調：你有一列期望值 E[X1], E[X2], E[X3], ...，想知道它們的極限是否等於「極限的期望值」E[lim Xn]。一般而言這個對調可能失敗，弄錯會導出錯誤結論。單調收斂定理指出了「對調永遠合法」的最簡單情形：當這些變數只會遞增時。
精確地說：若 X1, X2, X3, ... 是一列非負隨機變數，逐點遞增（對每個結果都有 X1 <= X2 <= X3 <= ...）至極限 X，則 E[Xn] 遞增至 E[X]。以符號寫即 lim E[Xn] = E[lim Xn] = E[X]，連 +infinity 的值都允許。其圖像是：當每個 Xn 從下方填滿越來越多 X 之下的面積時，它的積分穩定地往完整積分攀升，既不會超過、也不會卡在不足之處。除了非負與遞增結構之外無需任何額外條件——正是這個單調遞增，擋住了質量的流失。
這個定理是整個勒貝格積分的基石：非負函數的積分被定義為「遞增的簡單函數之積分」的極限，而 MCT 正是讓該定義一致且表現良好的關鍵。在機率中它使「把期望值展開成遞增的和」變得正當（於是非負項無窮和的 E 等於各項期望值之和），並支撐了條件期望的構造與許多極限論證。誠實的告誡：去掉單調性或非負性，對調就可能真的失敗，這正是為何 Fatou 引理與控制收斂定理為其他情形而存在。
對一個非負的 X，令 Xn = min(X, n)。隨著 n 增大，X1 <= X2 <= ... 遞增至 X，故 MCT 給出 E[X] = lim E[min(X, n)]。這正是把無界非負變數的 E[X] 定義為「截斷版本之期望值的極限」的標準做法。
當變數遞增至一個極限，它們的期望值便遞增至該極限的期望值——不可能有質量流失。
兩個條件都要緊：數列必須非負且遞增。少了它們，質量可能逃逸到無限遠處，使「期望值的極限」嚴格小於「極限的期望值」。