Fatou 引理（Fatou's lemma）
/ fah-TOO /
有時你無法把極限與期望值恰好對調，但仍想說點什麼。Fatou 引理正是為此情形而設的安全網不等式：即使「期望值的極限」不等於「極限的期望值」，Fatou 也保證「極限的期望值」絕不會超過——它只可能相等或更小。對非負變數而言，這是你永遠可以倚靠的單向控制，且完全不需任何額外假設。
精確地說，對任意一列非負隨機變數 X1, X2, X3, ...（不需單調、不需控制），E[liminf Xn] <= liminf E[Xn]。liminf 是一個數列「最終的下限」——也就是項在長期中始終高於的最大值——所以引理是說：「最終下限變數」的期望值至多等於「各期望值的最終下限」。直覺是：在取極限時機率質量可能流失到無限遠處（壓低左式），但它絕不會憑空被創造出來，因此極限期望值不可能超過該數列的期望值原本所趨向之處。
為何要留著一個只是不等式的東西？因為它幾乎不需任何前提，所以在較乾淨的定理失效時它仍適用，並且是證明下界、確立極限存在且有限的標準工具。它也是證明控制收斂定理的引擎：對被控制的數列及其反射各用一次 Fatou，這兩個不等式便把極限夾成等式。一個嚴格損失的具體圖像：令 Xn 是寬 1/n 的區間上一根高 n 的尖峰，於是 E[Xn] 恆為 1，但 Xn 逐點趨於 0，且 E[lim Xn] = 0 < 1——Fatou 成立（0 <= 1），而這個差距正是質量逃逸到無限遠處。
在 (0,1] 上的均勻測度之下，令 Xn 在區間 (0, 1/n] 上等於 n、其餘為 0。則對每個 n 都有 E[Xn] = n 乘以 (1/n) = 1，但 Xn 在每一點都趨於 0，故 E[lim Xn] = 0。Fatou 引理成立：0 = E[liminf Xn] <= liminf E[Xn] = 1。
極限期望值可以不足，卻絕不會超過——質量可能逃逸，卻絕不憑空出現。
Fatou 只朝一個方向成立（<=），且需要非負性；對會變號或質量可能爆掉的數列，不等式可能反轉或失效，所以你不能用它來把期望值由上方界定。