霍普夫代数与量子群
本原元素
在霍普夫代数的元素中，有些像“无穷小”的群元素——若群是李群，你能沿之移动的方向。这些是本原元素。类群元素在余积下复制自身（有限对称），而本原元素拆为自身张量一加一张量自身，这恰是求导的莱布尼茨法则。本原元是结构中线性化的加性部分。
形式地，在双代数 H 中，若 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x 则称元素 x 为本原的。用余单位公理强制 ε(x) = 0。本原元集 P(H) = { x : Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x } 是线性子空间，且对换位子括号 [x, y] = xy - yx 封闭，故 P(H) 是李代数。在霍普夫代数中对极在本原元上作用为 S(x) = -x。
这是李代数与群字典的代数来源。对李代数 g 的泛包络代数 U(g)，本原元恰是 g 自身（特征零时，由米尔诺–穆尔定理），从其包络霍普夫代数恢复 g。在特征 p 中会出现额外本原元，如 p 次幂，这正是那里要过渡到限制李代数的原因。
在 x 为本原元的多项式霍普夫代数 k[x] 中，特征 0 时唯一的本原元是 x 的标量倍；特征 p 时幂 x^{p^n} 也成为本原元，因为那里 (a + b)^p = a^p + b^p。这是在正特征中推理本原元时反复出现的陷阱。
又称
另见