霍普夫代数与量子群
类群元素
若本原元素是无穷小方向，则类群元素是藏在霍普夫代数内的真正“群点”。类群元素余积为自身的张量平方——它在两侧各拆成自身的完美副本——这恰是群代数余积下真正群元素的行为。类群元是封装在代数内的离散对称。
形式地，余代数中的元素 g 称为类群的，若 Δ(g) = g ⊗ g 且 ε(g) = 1；第二个条件排除平凡情形 g = 0。在霍普夫代数中每个类群元素自动可逆，逆为 S(g)，且类群元素集 G(H) 在乘法下构成群。此外，不同的类群元素总是线性无关。
对群代数 k[G]，类群元素恰是坐落于 k[G] 内的 G 的元素，故 G(k[G]) = G 原原本本地恢复原群。对代数群的坐标霍普夫代数 O(G)，类群元素对应特征标 G -> k^×，即一维表示。所以“类群”在对偶的一侧抓住群元素，在另一侧抓住特征标。
在 k[Z/2Z] = k[g]/(g² - 1) 中，元素 1 与 g 是类群的：Δ(g) = g ⊗ g，ε(g) = 1，且 g² = 1 故 g^{-1} = g = S(g)。{1, g} 一起是群 Z/2Z，作为 G(k[Z/2Z]) 恢复。
k[Z/2Z] 的类群元素重建群 Z/2Z。
又称
另见