庞加莱引理（Poincare lemma）
/ pwan-kah-RAY /
庞加莱引理是那条拯救“闭蕴含恰当”这一梦想的定理。我们已知每个恰当形式都是闭的；引理说在局部上其逆也成立。在任何可缩区域上——一个你能连续收缩到单点的区域，如球、星形区域，或整个 R^n——每个闭形式都恰当。所以在这样的区域里，d omega = 0 就保证你能找到 eta 使 omega = d eta。
它最常以伪装出现。对平面上的 1-形式，庞加莱引理说：若在单连通区域上 Q_x = P_y，则 P dx + Q dy 拥有势函数 f 满足 df = omega——也就是“良好定义域上无旋场是梯度”这一标准事实。引理还告诉你如何构造势：把形式沿从收缩点出发的直射线积分。这条显式的同伦公式是构造性的，所以引理不只是存在性陈述；它把原函数交到你手里。
至关重要的小字是“局部”一词，等价地说“在可缩区域上”。一旦定义域有洞，引理就失效，而这种失效正是德拉姆上同调的全部内容。角度形式 (-y dx + x dy)/(x^2 + y^2) 在去心平面上处处闭，却没有整体的势，因为去心平面不可缩。所以庞加莱引理最好读作“何时拓扑不挡路”的精确陈述——以及“何时它正好挡路”的一面旗帜。
在整个 R^2 上取 omega = (3x^2 + y) dx + (x + 2y) dy。检验闭：P_y = 1 = Q_x，所以 d omega = 0。平面可缩，于是庞加莱引理承诺有势。积分得：f = x^3 + xy + y^2 可行，因为 df = (3x^2 + y) dx + (x + 2y) dy = omega。
在可缩定义域上，通过闭性检验就保证有势——而你可以靠积分把它造出来。
前提是可缩性，它比定义域仅仅连通要更强。对 1-形式，常用的工作条件陈述为单连通（没有缩不掉的回路）；对更高阶形式，你需要更高阶的可缩性，而一个定义域可以单连通却仍困住某个 2-形式。