闭形式（closed form）
当一个微分形式的外微分为零，即 d omega = 0 时，称它为闭形式。这名字与“闭合回路”同宗——施加 d 时什么也没在变，所以这个形式没有 d 能探测到的内部扭转或源。对平面上的 1-形式，P dx + Q dy 闭的充要条件恰是 Q_x = P_y，也就是你也许记得的、判定保守场的混合偏导相等条件。
“闭”是“恰当”那个更弱、更局部的表亲。每个恰当形式自动是闭的，因为 d 平方等于零：若 omega = d eta，则 d omega = d(d eta) = 0。反过来——是否每个闭形式都恰当？——才是有趣的问题，答案取决于空间的形状。在局部（任意小球上，或任何没有洞的区域上），庞加莱引理说“是”：闭就蕴含恰当。在整体上它可能失败，而这种失败恰恰就是形式探测区域拓扑的方式。
经典的告诫故事是平面去掉原点上的 omega = (-y dx + x dy)/(x^2 + y^2)。直接计算表明 d omega = 0，所以 omega 是闭的；然而它绕原点一圈的积分是 2 pi 而不是零，这是恰当形式绝不可能产生的。所以 omega 闭而不恰当。这单一的不匹配正是德拉姆上同调的种子，在物理中它恰是那个角度微分，其非零的回路积分昭示原点处的洞——这与卷绕数、阿哈罗诺夫-玻姆相位，以及无法消去的环流背后是同一种结构。
omega = (2xy) dx + (x^2 + 1) dy 在整个平面上闭吗？这里 P = 2xy 且 Q = x^2 + 1，于是 P_y = 2x 与 Q_x = 2x；它们相等，所以 d omega = 0，omega 闭。由于平面没有洞，庞加莱引理还使它恰当：omega = d(x^2 y + y)。
“闭”是一个微积分检验（混合偏导相等）；它是否还恰当，则是一个拓扑问题。
闭不等于恰当。去心平面上角度形式的全部要点就在于：只要定义域有洞，就存在闭而不恰当的形式；把两者等同是这里最常见的单一错误。