德拉姆上同调（de Rham cohomology）
/ duh-RAHM /
我们有两个渴望被比较的事实：每个恰当形式都是闭的，但并非每个闭形式都恰当。两者之间的缺口——闭而不恰当的那些形式——结果并非偶然，而是对空间中洞的一次度量。德拉姆上同调正是把“闭而不恰当”变成对这些洞精确计数的记账法，且只用空间上的微积分。
这个构造是一段干净的代数。在每个阶数 k，考虑闭 k-形式（被 d 杀掉的那些），再对恰当 k-形式（是某物的 d 的那些）取商。因为 d 平方为零，每个恰当形式都是闭的，所以这个商有意义；结果就是第 k 个德拉姆上同调，其维数是一个叫第 k 个贝蒂数的数。若这个商平凡（每个闭形式都恰当），空间就没有 k 维洞。若它非零，每个独立的剩余闭而不恰当形式就指向一个不同的洞。在去心平面上，角度形式 (-y dx + x dy)/(x^2 + y^2) 是 1 阶的剩余类，它探测出原点处的那一个洞——第一个贝蒂数是一。
德拉姆的惊人定理是：这个纯粹由微分与积分光滑形式定义的对象，所算出的数恰与拓扑用三角形和链来数洞所算出的数完全相同。光滑空间上的微积分看得见它的整体形状。这正是为何一个回路积分非零的闭形式是你无法揉搓掉的真正障碍，为何有洞空间上的电磁学有物理后果（通量量子化、阿哈罗诺夫-玻姆效应），以及为何德拉姆上同调是从微分形式的局部语言通往拓扑的整体语言的桥梁。
在圆周（一维回路）上，形式 d(theta)——角度微分——是闭而不恰当的，因为 theta 不是单值函数（每绕一圈跳 2 pi）。它无法写成圆周上任何诚实函数 f 的 df，所以它代表一个非零类：圆周的第一个德拉姆上同调是一维的，探测出这个回路。
圆周上的角度形式闭而不恰当；它剩下的上同调类就是圆周缠绕的那个回路。
德拉姆上同调度量的是定义域的洞，而不是形式的缺陷。说 d(theta)“闭而不恰当”是关于圆周形状的陈述；在圆周的一块可缩片上，同一形式确实有势。障碍住在空间里，而形式只是把它揭示出来。